ローラン級数展開 #

ローラン級数展開について。正則関数は冪級数展開可能であった。孤立特異点の周りでローラン級数展開可能であることを確かめる。孤立特異点におけるローラン展開，極と真性特異点について解説する．

孤立特異点 #

複素関数$f$が$z=\alpha$の周りで$\alpha$を除いて定義されかつ正則、つまりある正の数$R$が存在して$0 < \lvert z-\alpha \rvert < R$上で$f$が正則なとき、 $\alpha$を$f$の孤立特異点という。

関数$f$が$z=a$の近傍で$z=a$を除いて正則であるとする。つまり、ある$\delta$について$0<\lvert z-a \rvert<\delta$で$f(z)$が正則であるとする。このとき、$z=a$を$f(z)$の孤立特異点という。

孤立特異点の例を見ていく。

$f(z)=\dfrac{1}{z}, f(z)=\dfrac{1}{\sin z}$

$f(z)=\log z$の$z=0$は孤立特異点ではない。

$f(z)$が正則な点も孤立特異点である。

ローラン級数展開 #

$z=a$を$f(z)$の孤立特異点としよう。このとき、$f$は$z=a$の周りでローラン展開 $$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n $$ を持つ。つまり、$z=a$の近傍で右辺が収束し$f(z)$の値と一致する。

正則関数の冪級数展開と同様に、ローラン級数展開の係数$a_n$は積分表示を持つ。

特に負冪部分 $$ \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-a)^n $$ を主要部という。

孤立特異点$a$の周りでローラン展開できることを証明しよう。

$f$が$z=a$を孤立特異点に持つとする。 $a$を中心とする同心円$C_1, C_2$を$f$が正則な円内にとり、半径の小さい方を$C_1$とする。 $C_1, C_2$に挟まれた部分にある点$z$をとる。円の向きはいずれも反時計回りとする。

$z$を中心とする小さな円に反時計回りに向きをつけたものを$C$とすると、コーシーの積分定理より $$ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta $$ である。

$f$の正則性から積分路を連続変形して$\int_C=\int_{C_1}-\int_{C_2}$であるから、 $$ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta $$ となる。

$$ \dfrac{1}{\zeta-z}=\dfrac{1}{\zeta-\alpha-z+\alpha}=\dfrac{1}{(\zeta-\alpha)-(z-\alpha)} $$ となる。ここで、$\zeta\in C_2$であれば$\lvert z-\alpha\rvert<\lvert \zeta-\alpha\rvert$であるから、 $$ \dfrac{1}{(\zeta-\alpha)-(z-\alpha)}=\dfrac{1}{\zeta-\alpha}\dfrac{1}{1-(z-\alpha)/(\zeta-\alpha)}\\ =\dfrac{1}{\zeta-\alpha}\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{z-\alpha}{\zeta-\alpha}\right)^n $$ が収束する。一方で、$\zeta\in C_1$であれば$\lvert z-\alpha\rvert>\lvert \zeta-\alpha\rvert$であるから、 $$ \dfrac{1}{(\zeta-\alpha)-(z-\alpha)}=-\dfrac{1}{z-\alpha}\dfrac{1}{1-(\zeta-\alpha)/(z-\alpha)}\\ =\dfrac{1}{z-\alpha}\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{\zeta-\alpha}{z-\alpha}\right)^n $$ が収束する。

以上から、 $$ f(z)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta+\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\\ =\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{1}{\zeta-\alpha}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\zeta-\alpha}{z-\alpha}\right)^nf(\zeta)d\zeta+ \frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{1}{\zeta-\alpha}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-\alpha}{\zeta-\alpha}\right)^nf(\zeta)d\zeta $$ であり、さらに無限和と積分の順序を交換して、 $$ =\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=1}^\infty\left(\int_{C_1}(\zeta-\alpha)^{-n}f(\zeta)d\zeta\right)(z-\alpha)^{-n} +\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty\left(\int_{C_2}(\zeta-\alpha)^{-(n+1)}f(\zeta)d\zeta\right)(z-\alpha)^{n} $$ となる。 $C_1, C_2$の半径を動かすことで係数は変わらず、$a$の近くの任意の$z$に対して $$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert z-\alpha\rvert=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}d\zeta\right)(z-\alpha)^n $$ となる。

以下は$z=0$中心の展開を考える。 $$ f(z)=\dfrac{3z^3+2z^2+z-1}{z^2}=-z^{-2}+z^{-1}+2+3z $$ で、$z=0$は$2$位の極で留数$1$である。
$$ f(z)=e^{1/z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}z^{-n} $$ であり、真性特異点。
$$ f(z)=\dfrac{e^z}{z^4}=z^{-4}+z^{-3}+\frac{1}{2}z^{-2}+\frac{1}{6}z^{-1}+\cdots $$ であり、$4$位の極、留数は$\dfrac{1}{6}$である。
$$ f(z)=\dfrac{1}{z^4+z^2}=z^{-2}\dfrac{1}{z^2+1}=z^{-2}(1-z^2+z^4+\cdots) $$ であり、$2$位の極、留数は$0$である。
$$ f(z)=\dfrac{e^z-1}{z}=1+\frac{1}{2}z+\cdots $$ であり、除去可能特異点。

孤立特異点の分類 #

孤立特異点を除去可能特異点、極、真性特異点の三種類に分類する。これはローラン級数展開の主要部の様子による分類である。また同値な条件だが、特異点に近づくときの関数の振る舞いによった他分類でもある。

除去可能特異点は本質的には特異点ではないような孤立特異点で、その点まで正則に関数を延長できる。極はその特異点に近づくときに関数が無限大に発散するような孤立特異点で、特異性を持つが比較的扱いやすい。真性特異点はこれらに比べて扱いにくい特異点である。

孤立特異点$a$におけるローラン展開の主要部が$0$なとき除去可能特異点、有限和であれば極、無限和であれば真性特異点である。

また$z\to\alpha$での$f$振る舞いは、除去可能特異点なら有限値に収束、極なら$\infty$に発散、真性特異点なら近づき方によっていろんな値になることが示せる。

除去可能特異点 #

$z=a$が$f(z)$の孤立特異点であり、$z=a$を含めた領域で正則な函数$g(z)$が存在して、 $z\neq a$では$f(z)=g(z)$であるとき、$z=a$は除去可能特異点であるという。

要するに除去可能特異点は見かけ上特異点のようになっているが、実際のところ特異点ではないものである。

$\dfrac{e^z-1}{z}, \dfrac{\sin z}{z}$など。 $z=0$が除去可能特異点。

$0<\lvert z-\alpha\rvert<\epsilon$ならば$\lvert f(z)\lvert\leq M$となる$\epsilon$と$M$が存在することが同値。

除去可能特異点の周りでのローラン級数展開は主要部が$0$になる。

極 #

極に対してはローラン級数展開の係数について$a_n\neq0$となる最小の$n$が定まる。 $-n$を極の位数という。 $\alpha$で$-n$位の極をもつという。

$z=a$が$f(z)$の孤立特異点であり、$\lim_{z\to a,z\neq a}f(z)=\infty$であるとき、$z=a$を極という。
また、$z=a$が$f(z)$の極であるとき、ある整数$n$について$(z-a)^nf(z)$は$z=a$まで正則な関数となる。このような$n$で最小のものを$z=a$の極の位数という。
$z=a$が極の場合には主要部が有限和となる。

極の異なる定義。主要部が$0$でなく、有限和なとき。 $a_n\neq0$なる最小の$n$について$-n$を位数といい、$a_{-1}$を留数という。このとき、$f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^n}$と正則な$g(z)$を用いてかけ、正則関数の日である。逆に正則関数の比は分母が$0$になるところで極をもつ。

$f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}$は$z=0$で主要ぶが$-z^{-1}$で極

真性特異点 #

いずれでもない場合、真性特異点という。つまり主要部が無限和であるようなもの。 $e^{-1/z}$とか$\sin\dfrac{1}{z}$などは$z=0$を真性特異点に持つ。

$\alpha$が$f$の真性特異点のとき、 $z\to\alpha$をうまく近づけると$f(z)$をどんな値にも近づけられる。

$f(z)=e^{1/z}$とする。 $z=1/(a+bi)$とすると、$f(z)=e^{2\pi(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)$である。例えば、$a=0$と固定する。 $b\to\infty$とすれば$z=1/bi\to 0$であり、このとき、$f(z)=(\cos b+i\sin b)$は$b\to\infty$で単位円周上を回り続ける。特に、$b_n=\theta+2\pi n$として、$n\to\infty$とすると$b_n\to\infty$であり、$f(b_ni)=\cos \theta+i\sin\theta$なので、$n\to\infty$で$\cos\theta+i\sin\theta$に収束する。

有理型関数 #

領域$\Omega$で極を除いて正則な関数を有理形関数という。

正則関数の比で表される関数は有理型関数である。

$f(z)=\dfrac{z^2-3z+2}{z^2(z^2-1)}$の孤立特異点（正則な点？）を求めよ。単に正則な点と除去可能特異点の違いは？約分をしない式で定義されていることがポイント。

$\dfrac{1}{z^2(z-1)^2}$は$z=0, 1$にそれぞれ$2$位の極。ローラン級数展開を計算しよう。