ローラン級数展開 #

ローラン級数展開について。正則関数は冪級数展開可能であった。孤立特異点の周りでローラン級数展開可能であることを確かめる。孤立特異点におけるローラン展開，極と真性特異点について解説する．

孤立特異点 #

複素関数$f$が$z=\alpha$の周りで$\alpha$を除いて定義されかつ正則、つまりある正の数$R$が存在して$0 < \lvert z-\alpha \rvert < R$上で$f$が正則なとき、 $\alpha$を$f$の孤立特異点という。

関数$f$が$z=a$の近傍で$z=a$を除いて正則であるとする。つまり、ある$\delta$について$0<\lvert z-a \rvert<\delta$で$f(z)$が正則であるとする。このとき、$z=a$を$f(z)$の孤立特異点という。

孤立特異点の例を見ていく。

$f(z)=\dfrac{1}{z}, f(z)=\dfrac{1}{\sin z}$

$f(z)=\log z$の$z=0$は孤立特異点ではない。

$f(z)$が正則な点も孤立特異点である。

ローラン級数展開 #

$z=a$を$f(z)$の孤立特異点としよう。このとき、$f$は$z=a$の周りでローラン展開 $$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n $$ を持つ。ローラン級数展開の係数$a_n$は積分表示を持つ。

特に負冪部分 $$ \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-a)^n $$ を主要部という。

$f$が$z=\alpha$を孤立特異点に持つとする。 $\alpha$を中心とする同心円$C_1, C_2$を考え、半径の小さい方を$C_1$とする。 $C_1, C_2$に挟まれた部分にある点$z$をとる。円の向きはいずれも反時計回り。 $z$を中心とする小さな円を$C$とすると、コーシーの積分定理より $$ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta $$ であり、一方で$f$の正則性から積分路を連続変形して$\int_C=-\int_{C_1}+\int_{C_2}$であるから、 $$ f(z)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta+\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta $$ となる。

$$ \dfrac{1}{\zeta-z}=\dfrac{1}{\zeta-\alpha-z+\alpha}=\dfrac{1}{(\zeta-\alpha)-(z-\alpha)} $$ となる。ここで、$\zeta\in C_2$であれば$\lvert z-\alpha\rvert<\lvert \zeta-\alpha\rvert$であるから、 $$ \dfrac{1}{(\zeta-\alpha)-(z-\alpha)}=\dfrac{1}{\zeta-\alpha}\dfrac{1}{1-(z-\alpha)/(\zeta-\alpha)}\\ =\dfrac{1}{\zeta-\alpha}\sum_{n=0}^\infty(\dfrac{z-\alpha}{\zeta-\alpha})^n $$ が収束する。一方で、$\zeta\in C_1$であれば$\lvert z-\alpha\rvert>\lvert \zeta-\alpha\rvert$であるから、 $$ \dfrac{1}{(\zeta-\alpha)-(z-\alpha)}=-\dfrac{1}{z-\alpha}\dfrac{1}{1-(\zeta-\alpha)/(z-\alpha)}\\ =\dfrac{1}{z-\alpha}\sum_{n=0}^\infty(\dfrac{\zeta-\alpha}{z-\alpha})^n $$ が収束する。

以上から、 $$ f(z)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta+\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\\ =\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{1}{\zeta-\alpha}\sum_{n=1}^\infty(\frac{\zeta-\alpha}{z-\alpha})^nf(\zeta)d\zeta+ \frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{1}{\zeta-\alpha}\sum_{n=0}^\infty(\frac{z-\alpha}{\zeta-\alpha})^nf(\zeta)d\zeta\\ =\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=1}^\infty(\int_{C_1}(\zeta-\alpha)^{-n}f(\zeta)d\zeta)(z-\alpha)^{-n} +\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty(\int_{C_2}(\zeta-\alpha)^{-(n+1)}f(\zeta)d\zeta)(z-\alpha)^{n} $$ となる。これは$z$によらないから、$C_1, C_2$の半径を動かすことができ、 $$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty(\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert z-\alpha\rvert=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-\alpha)^{n+1}}d\zeta)(z-\alpha)^n $$ となる。

以下は$z=0$中心の展開を考える。 $$ f(z)=\dfrac{3z^3+2z^2+z-1}{z^2}=-z^{-2}+z^{-1}+2+3z $$ で、$z=0$は$2$位の極で留数$1$である。
$$ f(z)=e^{1/z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}z^{-n} $$ であり、真性特異点。
$$ f(z)=\dfrac{e^z}{z^4}=z^{-4}+z^{-3}+\frac{1}{2}z^{-2}+\frac{1}{6}z^{-1}+\cdots $$ であり、$4$位の極、留数は$\dfrac{1}{6}$である。
$$ f(z)=\dfrac{1}{z^4+z^2}=z^{-2}\dfrac{1}{z^2+1}=z^{-2}(1-z^2+z^4+\cdots) $$ であり、$2$位の極、留数は$0$である。
$$ f(z)=\dfrac{e^z-1}{z}=1+\frac{1}{2}z+\cdots $$ であり、除去可能特異点。

孤立特異点の分類 #

孤立特異点を三種類に分類する。これはローラン級数展開の主要部の様子によって、また同値だが特異点に近づくときの関数の振る舞いによっている。除去可能特異点、極、真性特異点の三種類に分類する。

除去可能特異点は本質的には特異点ではないような孤立特異点で、その点まで正則に関数を延長できる。極は特異性を持つが比較的扱いやすい。真性特異点は扱いにくい特異点と言える。

主要部が$0$なとき除去可能特異点、有限和であれば極、無限和であれば真性特異点である。

$z\to\alpha$での振る舞い。除去可能特異点なら有限値に収束、極なら$\infty$に発散、真性特異点なら近づき方によっていろんな値になる。

除去可能特異点 #

$z=a$が$f(z)$の孤立特異点であり、$z=a$を含めた領域で正則な函数$g(z)$が存在して、 $z\neq a$では$f(z)=g(z)$であるとき、$z=a$は除去可能特異点であるという。

要するに除去可能特異点は見かけ上特異点のようになっているが、実際のところ特異点ではないものである。

$\dfrac{e^z-1}{z}, \dfrac{\sin z}{z}$など。 $z=0$が除去可能特異点。

$0<\lvert z-\alpha\rvert<\epsilon$ならば$\lvert f(z)\lvert\leq M$となる$\epsilon$と$M$が存在することが同値。

除去可能特異点の周りでのローラン級数展開は主要部が$0$になる。

極 #

極に対してはローラン級数展開の係数について$a_n\neq0$となる最小の$n$が定まる。 $-n$を極の位数という。 $\alpha$で$-n$位の極をもつという。

$z=a$が$f(z)$の孤立特異点であり、$\lim_{z\to a,z\neq a}f(z)=\infty$であるとき、$z=a$を極という。
また、$z=a$が$f(z)$の極であるとき、ある整数$n$について$(z-a)^nf(z)$は$z=a$まで正則な関数となる。このような$n$で最小のものを$z=a$の極の位数という。
$z=a$が極の場合には主要部が有限和となる。

極の異なる定義。主要部が$0$でなく、有限和なとき。 $a_n\neq0$なる最小の$n$について$-n$を位数といい、$a_{-1}$を留数という。このとき、$f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-\alpha)^n}$と正則な$g(z)$を用いてかけ、正則関数の日である。逆に正則関数の比は分母が$0$になるところで極をもつ。

$f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}$は$z=0$で主要ぶが$-z^{-1}$で極

真性特異点 #

いずれでもない場合、真性特異点という。 $e^{-1/x}$とか$\sin\dfrac{1}{z}$とか？主要ぶが無限話

$\alpha$が$f$の真性特異点のとき、 $z\to\alpha$をうまく近づけると$f(z)$をどんな値にも近づけられる。

$f(z)=e^{1/z}$とする。 $z=1/(a+bi)$とすると、$f(z)=e^{2\pi(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)$である。よって、$b$を固定して

有理型関数 #

領域$\Omega$で極を除いて正則な関数を有理形関数という。

正則関数の比で表される関数は有理型関数である。

$f(z)=\dfrac{z^2-3z+2}{z^2(z^2-1)}$の孤立特異点（正則な点？）を求めよ。単に正則な点と除去可能特異点の違いは？約分をしない式で定義されていることがポイント。

$\dfrac{1}{z^2(z-1)^2}$は$z=0, 1$にそれぞれ$2$位の極。ローラン級数展開を計算しよう。